파트너 찾을 확률 계산

 

 

 

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파트너 찾을 확률

 

 

우리 카페에서 서로간에 파트너 찾는 사람이 많은 듯해서.................

 

통계학적인 확률로 계산해서 남자회원이 여자회원에게 구혼해서 성공할 확률과 여자회원들은 몇명이나 튕기고 나서야 제 짝이 나타날지를 알아보자....

 

뭇 여성회원님 들이여, 지금가지 몇명의 남성이 프로포즈해 왔는지 기억하십니까 ?

그러면, 몇번 째 놈부터는 주의깊게 판단해야 할 지를 지금부터 알아 봅시당.....

 

 

상황 설정은 이러하다.

 

한 여성에게 100명의 남자가 순차적으로 프로포즈 한다고 하자.

100명 중 진짜 파트너는 한명 뿐이고, 여성은 그 남자를 찾고 싶어한다.

 

물론 그가 첫번째로 프로포즈할지 100번째로 프로포즈를 해 올지는 알 수 없을 것이다.

여자가 100명의 남자 중 제일 멋진 남자를 고른다는 건 너무 불공평하니까 한번 프로포즈한 남자를 튕기면 다시는 그 남자는 선택할 수 없다고 하자.

 

하기사, 나도 날 튕긴 여자에게는 다시 프로포즈 안 할테니깐.....

 

즉 만약 더 나은 남자가 있을 거라는 기대감에 99명의 남자를 차례로 튕겨버렸다면 100번째 프로포즈하는 남자와 파트너가 될 수 밖에 없다.

물론 첫번째 남자의 프로포즈를 받아드리면 99명의 남자가 어떤 남자인지 보지도 못한다.

 

그러면 여자에게는 전략이 필요하다.

 

이른바 ,,, < 몇 명까지는 일단 튕겨보고 그 다음부터 제일 멋진 남자와 파트너 하자 > 는 전략이다.

 

 

여자에게 몇명까지 튕겨보는게 가장 합리적인 전략이 될까?

 

 

조건부 확률을 생각해 볼 수 있다.

 

B : 여자가 파트너를 정확하게 선택할 확률.

A1 : 파트너가 첫번째로 프로포즈해올 확률.

A2 : 파트너가 두번째로 프로포즈해올 확률.

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.

.

,

,

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A98

A99

A100 : 파트너가 백번째로 프로포즈해올 확률.

 

 

그러면 여자가 파트너를 정확하게 선택할 확률은 다음과 같이 표현된다.

 

P(B) = P(A1)*P(B/A1) + P(A2)*P(B/A2) + ... +P(A100)P(B/A100) ----(1)

 

 

이제 우리의 여성이 r 명까지는 일단 튕겨보고 그 다음부터 만나는 남자 중 제일 멋진 남자와 결혼하기로 했다고 하자.

 

그러면 P(B/A1)=0, P(B/A2)=0, ..... , P(B/Ar)=0 이다.

( 당연히...최초 r 명 안에 파트너가 있었다면, r 명까지는 튕기기로 한 여자의 작전은 완전...실패당.)

 

P(B/A(r+1))=1=r/r

( 당연히 r + 1 번째로 파트너가 프로포즈 해 왔다면 r 명까지 튕긴 여자는 이전에 본 r 명보다 더 멋진 남자를 바로 만나버린 거니까 파트너를 픽업할 확률은 100% ?? )

 

P(B/A(r+2))=r/(r+1)

P(B/A(r+3))=r/(r+2)

.

.

.

.

.... 이렇게 줄줄이 내려가면............

 

P(B/A(99))=r/99

P(B/A(100))=r/100

 

r + 2 번째에 파트너가 있는데 r + 1 번째 프로포즈 한 남자가 이전에 튕긴 r 명보다 나은 남자였다면, 여자는 최초세운 전략상 그냥 r + 1 번째 남자의 프로포즈를 받아들이면 되고 그러면 r+ 2 번째 남자는 보지도 못하니까, 여자의 입장에서는 또 전략상 실패다.

 

따라서 r + 2 번째 남자(파트너)의 프로포즈를 받기 위해서는 r + 1 번째 남자가 기존에 만났던 r 명보다 나은 남자여서는 안될 것이다.

 

다시 말해서...... 파트너보다 앞서서 프로포즈 하는 남자중 가장 괜찮은 남자가 r 번째이전 ( r 번째 포함 ) 에 여자에게 프로포즈를 하면 된다.

 

즉..... r + 1 번째에만 있지 않으면 된다.

1,2,3,...,r, r + 1 번째 중 r + 1 번째만 아니면 되니까 확률은 r/(r+1)이다.

 

같은 방식으로 파트너가 r + 3 번째로 프로포즈를 한다면 r+ 1 번째 r + 2 번째에 여자가 프로포즈를 받아들여버리면 안된다.

그러려면 파트너 이전의 남자들 중 가장 멋진 남자가 r 번째 이전 (r 번째 포함) 에 있으면 된다.

 

그러면 r + 1 번째, r + 2 번째 남자가 r 번째까지의 남자보다 멋질 수 없으므로 여성는 r + 3 번째 남자가 어떤 남자인지 살필 기회를 갖게 된다.

 

확률은 r/(r+2) ... 이다.

 

이런 식으로 동일 한 풀이 과정을 거치면 파트너가 백번째로 프로포즈 해올때 여자가 백번까지 기다려서 그 왕자를 선택할 확률은 r/100

 

이 결과를 (1)식에 대입하면

 

..100....1.......r

sigma --- * ---

..x=r..100.......x

 

이것이다! 드디어 r에 관한 함수가 나왔다.

항수가 많으니까 그냥 연속적으로 생각해서 적분을 하자.

 

.......................1.......r

integral r->100 --- * --- dx

......................100......x

 

 

...r.........100

= --- [lnx]

..100........r

 

어차피 우리는 위의 값을 최대로 만드는 r 값을 찾는거니까, 그리고 상수항과 계수는 신경 안써도 되니까

 

--[ r{ln100} - r {ln r } ]= 0 을 만드는 r 을 찾자.

 

 

(답) r = 37 .............. 답이 나왔다. 37명이다.

 

근데 이 37 이라는 숫자는 100명이 프로포즈 했을 때를 가정한 경우이니 10명으로 줄여보자.

보통 한 여자에게 프로포즈하는 남자의 숫자가 10 명이라고 하면 여자는 최초 3 명까지는 튕겨볼 수 있어도 4 명부터는 튕겨서는 안 된다는 계산이 나온다.

 

그냥 괜찮다 싶으면 잡아야 된다는 것이다.

솔직히 10 명도 많지만 ,,, 

 

보통 여성에게 프로포즈 하는 남자가 5 명쯤 된다면 최초 한명 쯤은 공주병 환자처럼 튕겨볼 수 있으나 두번째 남자가 프로포즈해올 경우...

 

첫번째 남자보다 낫기만 하다면 프로포즈를 받아들여야 한다는 것이다. 그만 튕기고.

 

 

 

남성회원님 들이여~

맘에 드는 여성분이 계시다면, 그 여성분께 물어보십시오.. 

지금껏 몇 명이나 프로포즈를 했느냐구요 ..   

그리고 ,,,  만약 사귀자고 했는데도 그녀가 튕긴다면... 그 여자 눈앞에다 연습장 펼쳐놓고 인테그랄 한번 쌔려주십시오.

 

 

 

그리고,  여성회원님 들이여.....

 

우리 카페 남성 숫자가 몇 명인지 알아보신 후에, 거기서 이미 프로포즈한 남성의 숫자를 뺀 후에 100명과의 비례한 숫자로 비교해 보시면 정말 잡아야 할 순번이 나온다는 겁니다......  또한, 나에게 과연 몇 명이 프로포즈 할까 ?  를 생각해 보신 후에 2차 방정식 계산하셔서 비율을 내 보시면 몇 명 까지 튕기고 몇 번째 놈을 잡아야 할른지 대충 나옵니다요 ...

 

이거 비밀인데.... 저, 공대 출신이거든요..... 그것도 응용물리학과..............

 

 

 

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